Memahami Persamaan Identitas Trigonometri, Persamaan Sudut Ganda yang Nilainya Sama Besar Beserta Penurunannya

Kita telah mengenal dasar trigonometri pada pembahasan sebelumnya. Kali ini kita akan membahas masih mengenai persamaan identitas trigonometri lebih lanjut.

Terdapat 2 hal dalam pembahasan kali ini, yaitu memahami identitas pythagoras dan penjumlahan 2 atau lebih sudut yang nilainya sama besar dalam aspek matematika trigonometri. Untuk itu mari disimak penjelasan selanjutnya.

Persamaan Identitas Trigonometri

Dalam trigonometri, identitas trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri dan berlaku untuk setiap nilai variabel yang muncul yang kedua sisi persamaannya terdefinisi. Secara geometris, ini adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut. Identitas tersebut berbeda dengan identitas segitiga, yang merupakan identitas yang berpotensi melibatkan sudut tetapi juga melibatkan panjang sisi atau panjang segitiga lainnya.

Identitas ini berguna ketika ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri perlu disederhanakan. Penerapan yang penting adalah integrasi fungsi non-trigonometri: teknik umum pertama-tama melibatkan penggunaan aturan substitusi dengan fungsi trigonometri, dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri. (Wikipedia)

Dari penjelasan di atas, pada dasarnya identitas trigonometri adalah sejumlah rumus matematika yang menghubungkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), dan lain sebagainya. Identitas ini digunakan untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri, menyelesaikan persamaan trigonometri, dan membantu dalam berbagai masalah matematika, fisika, dan teknik.

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui :

⇒ OQ = r = 1
⇒ Sudut ∠APQ = ∠APQ = ∠OPQ = ∠OQA = ∠OQB = ∠ORQ = 90°
⇒ Sudut ∠QOR = Sudut ∠PQO = Sudut ∠PAQ = Sudut ∠OAB = 𝛉

Dengan mengetahui beberapa hal tersebut, kita dapat mencari tau hubungan identitas trigonometri di dalamnya. Mari simak pembahasannya.

Pada sudut ∠QOR = 𝛉

$\begin{aligned}\sin\theta&=\frac{\bar{RQ}}{\bar{OQ}}=\frac{\bar{RQ}}{1}\\\\\Rightarrow&\sin\theta=\bar{RQ}\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{i})\\\\\cos\theta&=\frac{\bar{OR}}{\bar{OQ}}=\frac{\bar{OR}}{1}\\\\\Rightarrow&\cos\theta=\bar{OR}\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{ii})\\\\\end{aligned}$

Pada sudut ∠PAQ = 𝛉

$\begin{aligned}\sin\theta&=\frac{\bar{OQ}}{\bar{OA}}=\frac{\bar{1}}{\bar{OA}}\\\\\Rightarrow&\;\bar{OA}=\frac{1}{\sin\theta}=\csc\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{iii})\\\\\end{aligned}$

Pada sudut ∠PQO = 𝛉

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{PQ}}{\bar{OQ}}=\frac{\bar{PQ}}{1}\\\\\Rightarrow&\;\bar{PQ}=\cos\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{iv})\\\\\end{aligned}$

Pada sudut ∠OAQ = 𝛉

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{AQ}}{\bar{OA}}\\\\\end{aligned}$

substitusi OA dari persamaan (iii) :

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{AQ}}{\csc\theta}\\\\\bar{AQ}&=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\\\\Rightarrow\;&\bar{AQ}=\frac{1}{\tan\theta}=\cot\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{v})\end{aligned}$

Pada sudut ∠QOB = 𝛉

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{OQ}}{\bar{OB}}=\frac{1}{\bar{OB}}\\\\\Rightarrow\;&\bar{OB}=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{vi})\\\\\sin\theta&=\frac{\bar{QB}}{\bar{OB}}\\\\\Rightarrow\;&\bar{QB}=\bar{OB}\;\sin\theta=\frac{1}{\cos\theta}\sin\theta\\\\\Rightarrow\;&\bar{QB}=\tan\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{vii})\\\\\end{aligned}$

Dari pembahasan di atas ini, kita mendapatkan beberapa persamaan dari (i) sampai (vii). Berdasarkan gambar dan teorema Pythagoras, kita bisa mendapatkan beberapa hubungan dalam trigonometri sebagai identitas trigonometri itu sendiri.

Pada segitiga △QOB

$\begin{aligned}\bar{OB}^2&=\bar{OQ}^2+\bar{QB}^2\\\\\sec^2\theta&=1^2+\tan^2\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{1})\end{aligned}$

Pada segitiga △OAQ

$\begin{aligned}\bar{OA}^2&=\bar{OQ}^2+\bar{AQ}^2\\\\\csc^2\theta&=1+\cot^2\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{2})\end{aligned}$

Pada segitiga △AOB

$\begin{aligned}\bar{AB}^2&=\bar{OA}^2+\bar{OB}^2\\\\(\bar{AQ}+\bar{QB})^2&=\bar{OA}^2+\bar{OB}^2\\\\(\cot\theta+\tan\theta)^2&=\csc^2\theta+\sec^2\theta\\\\\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2&=\csc^2\theta+\sec^2\theta\\\\\left(\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\right)^2&=\csc^2\theta+\sec^2\theta\\\\\frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}&=\csc^2\theta+\sec^2\theta\\\\\csc^2\theta\sec^2\theta&=\csc^2\theta+\sec^2\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{3})\end{aligned}$

Dari pembahasan di atas, dapat kita rangkum persamaan identitas trigonometri tersebut yang dapat berguna untuk menyelesaikan permasalahan dalam matematika dan fisika terapan.

Rangkuman Persamaan Identitas Trigonometri

$\begin{aligned}1.\;&\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\2.\;&\sec^2\theta=1^2+\tan^2\theta\\3.\;&\csc^2\theta=1+\cot^2\theta\\4.\;&\csc^2\theta\sec^2\theta=\csc^2\theta+\sec^2\theta\end{aligned}$

Persamaan Penjumlahan Sudut Ganda yang Sama Besar dalam Matematika Trigonometri

Dasar dari memahami trigonometri adalah hubungan identitas trigonometri yang dasarnya diambil dari teorema pythagoras. Dari rangkuman persamaan identitas trigonometri tersebut, kita bisa melanjutkan pembahasan sehingga pemahaman trigonometri bisa diterapkan untuk berbagai permasalahan dalam matematika.

Penjumlahan sudut ganda adalah penjumlahan 2 sudut atau lebih yang nilainya sama besar dimana kita cukup mengetahui nilai dari 1 sudut tersebut. Pemahaman ini sangat berguna jika kita sedang memecahkan sebuah permasalahan dimana kita terbatas untuk menggunakan alat hitung. Untuk itu mari kita mulai.

Perhatikan gambar berikut :

Terdapat 2 gambar segitiga samakaki yang sama. Gambar I segitiga berdiri dan Gambar II segitiga samakaki yang ditidurkan ke satu sisi AB.

Diketahui :

⇒ Panjang AB = AC = 1
⇒ Panjang OC = OB = y

⇒ Panjang AO = x
⇒ Panjang BC = 2y

Pada segitiga △CAO, sudut ∠CAO = 𝛉 pada Gambar I :

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{AO}}{\bar{AC}}\\\\&=\frac{\bar{AO}}{1}\\\\\Rightarrow\;&\bar{AO}=x=\cos\theta\\\\\sin\theta&=\frac{\bar{OC}}{\bar{AC}}\\\\&=\frac{\bar{OC}}{1}\\\\\Rightarrow\;&\bar{OC}=y=\sin\theta\\\\\end{aligned}$

⇒ Panjang OC = OB = y = sin 𝛉

⇒ Panjang BC = 2y = 2 sin 𝛉

⇒ Panjang AO = x = cos 𝛉

Pada segitiga △PCB, sudut ∠PCB = ∠CAO = ∠BAO = 𝛉 pada Gambar II :

$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{\bar{PC}}{\bar{BC}}\\\\&=\frac{\bar{PC}}{2\sin\theta}\\\\\Rightarrow\;&\bar{PC}=y'=2\sin\theta\cos\theta\\\\\sin\theta&=\frac{\bar{PB}}{\bar{BC}}\\\\&=\frac{\bar{PB}}{2\sin\theta}\\\\\Rightarrow\;&\bar{PB}=2\sin^2\theta\\\\\end{aligned}$

Pada segitiga △APC, sudut ∠CAP = 2𝛉 pada Gambar II :

$\begin{aligned}\sin 2\theta&=\frac{\bar{PC}}{\bar{AC}}\\\\&=\frac{\bar{PC}}{1}\\\\\Rightarrow\;&\bar{PC}=\sin 2\theta\end{aligned}$

Karena Panjang PC = y' = 2 sin 𝛉 cos 𝛉, maka :

$\begin{aligned}\sin 2\theta&=\bar{PC}\\\\\sin 2\theta&=2\sin\theta\cos\theta\hspace{0.3cm}..............\;(5)\\\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\cos 2\theta&=\frac{\bar{AP}}{\bar{AC}}=\frac{\bar{AP}}{1}\\\\\Rightarrow&\bar{AP}=\cos 2\theta\\\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}\ast)\;\bar{AP}&=1-\bar{PB}\\&=1-2\sin^2\theta\\&=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-2\sin^2\theta\\\\\cos 2\theta&=\cos^2\theta-\sin^2\theta\hspace{0.3cm}..............................\;(\mathrm{6})\\&=2\cos^2\theta-1\\&=1-2\sin^2\theta\\\end{aligned}$

Untuk sementara sampai di sini dulu. Semoga bisa dipahami.

Salam 😊

△𝛉∠

Memahami Persamaan Identitas Trigonometri, Persamaan Sudut Ganda yang Nilainya Sama Besar Beserta Penurunannya

Persamaan Identitas Trigonometri

Rangkuman Persamaan Identitas Trigonometri

Persamaan Penjumlahan Sudut Ganda yang Sama Besar dalam Matematika Trigonometri

Posting Komentar

Facebook Page

Popular Posts

Matematika Lingkaran : Bagian Lingkaran | Panjang Busur Lingkaran | Contoh Soal

Matematika Lingkaran | Cara Menghitung Luas Juring Lingkaran | Busur Lingkaran

Vektor Matematika | Notasi Vektor | Komponen Vektor

Sudut Derajat ke Sudut Radian | Sudut Radian ke Sudut Derajat

Kinematika Gerak | Gerak Lurus Beraturan (GLB) | Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Social Plugin

Labels

Made with Love by

Contact form