Mengenal Dasar Lingkaran, Bagian - Bagiannya serta Panjang Busur Lingkaran

Apa itu Lingkaran ?

Lingkaran adalah bentuk geometri dua dimensi yang terdiri dari semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusat tertentu. Pusat lingkaran adalah titik pusatnya, dan jarak dari pusat ke tepi lingkaran disebut sebagai jari-jari.

Bagian - bagian dari Lingkaran

1. Jari - Jari Lingkaran.

Jari - jari lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke tepi lingkaran.

2. Sudut Pusat Lingkaran
Sudut Pusat adalah sudut yang titiknya terletak di tengah - tengah lingkaran.

3. Sudut Keliling Lingkaran
Sudut Keliling adalah sudut yang letak titiknya berada di luar titik pusat lingkaran, atau pada garis lingkarannya.

4. Busur Lingkaran

Busur Lingkaran adalah ruas garis melengkung yang berhimpit dengan lingkaran. Busur lingkaran merupakan salah satu unsur lingkaran yang berupa garis. Artinya, busur lingkaran pasti berupa lengkungan.

5. Juring atau Sektor Lingkaran
Juring atau Sektor Lingkaran adalah bagian dari lingkaran, yang dibatasi oleh 1 busur dan 2 jari - jari lingkaran.

6. Tembereng Lingkaran

Tembereng Lingkaran adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan sebuah busur lingkaran.

Luas tembereng lingkaran adalah besar luas juring lingkaran dikurangi oleh luas segitiga yang kaki-kaki sudutnya merupakan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran yang menghubungkan batas tembereng tersebut.

Sebagaimana juring atau sektor lingkaran, tembereng lingkaran pun ada tembereng mayor dan tembereng minor. Tembereng mayor memiliki luasan lebih besar daripada tembereng minor. Sifatnya sama dengan juring lingkaran.

7. Tali Busur Lingkaran
Tali Busur Lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan antara 2 titik pada garis lingkaran. Garis AB, CD dan EF pada gambar di bawah ini adalah contoh tali busur lingkaran.

8. Apotema Lingkaran
Apotema adalah ruas garis dari pusat lingkaran dan tegak lurus menuju ke tali busur. Pada contoh gambar di bawah ini, garis AD adalah apotema lingkaran.

Beberapa definisi umum dari lingkaran meliputi:

Diameter Lingkaran: Diameter adalah garis lurus yang melalui pusat lingkaran dan menghubungkan dua titik pada tepi lingkaran. Diameter selalu dua kali panjang jari-jari.
Keliling Lingkaran: Keliling lingkaran adalah panjang lengkungan sekitar tepi lingkaran. Rumus keliling lingkaran ( K ) adalah = 2πr, di mana "r" adalah jari-jari lingkaran.
Luas Lingkaran: Luas lingkaran adalah luas bidang yang dibatasi oleh tepi lingkaran. Rumusnya adalah Luas = $\pi r^2$

Lingkaran merupakan konsep penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk geometri, trigonometri, ilmu fisika, dan teknik. Lingkaran juga digunakan dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari, seperti dalam perancangan roda, mesin, serta konsep-konsep terkait dalam matematika dan fisika.

Sudut Pusat Pada Lingkaran dalam Derajat dan Radian

Sudut biasanya diukur dalam derajat ( ° ) atau dalam radian. Sudut yang berpadanan terhadap 1 putaran penuh lingkaran bernilai 360° atau 2π radian. Pada tulisan sebelumnya yaitu "Hubungan Sudut Derajat dan Sudut Radian dalam Fungsi Trigonometri Matematika", kita mendapatkan hubungan antara sudut derajat dan sudut radian adalah sebagai berikut :

$\begin{aligned}\displaystyle 1\;\textup{radian} \approx 57,2958^{\circ}\end{aligned}$

atau

$\begin{aligned}\displaystyle 1^{\circ} \approx 0,0174533\;\textup{radian}\end{aligned}$

Panjang Busur dari Potongan Sebuah Lingkaran

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian ( 360° ) berawal dari sistem bilangan bangsa Babylonia kuno yang mengadopsi sistem bilangan sexagesimal atau basis 60 ( kelipatan 60 ). Sedangkan untuk 1 putaran penuh lingkaran bernilai 2π radian didapatkan dengan dasar perbandingan jari - jari lingkaran terhadap 1 putaran ( keliling ) penuh lingkaran.

Maksud dari 1 radian adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis yang panjang busurnya sama dengan panjang jari - jari ( radius ) lingkaran. Radian merupakan turunan dari kata radii atau jari - jari lingkaran.

( Lihat kembali tulisan "Hubungan Sudut Derajat dan Sudut Radian dalam Fungsi Trigonometri Matematika" )

Untuk membentuk 1 lingkaran penuh, sudut yang dibentuk oleh lingkaran adalah 6,28 ( 2π ) kalinya dari panjang jari - jari lingkaran tersebut, sehingga besarnya sudut 1 lingkaran penuh disebut 2π radian.

Untuk memahami lebih lanjut hubungan kedua hal ini yaitu sudut derajat dan sudut radian berkaitan untuk mencari panjang busur lingkaran, mari simak pembahasan berikut.

Pada gambar di atas, panjang busur S dari potongan busur sebuah lingkaran berjari - jari r dengan sudut t radian. Sudut t bisa diganti dengan sudut θ jika besar sudut dalam satuan derajat ( ° ). Maka akan memenuhi persamaan perbandingan busur lingkaran sebagai berikut :

$\begin{aligned}\frac{\textup{panjang\;busur}}{\textup{keliling\;lingkaran}}&=\frac{\textup{sudut\;pusat}}{\textup{sudut\;lingkaran\;penuh}}\\\\\frac{s}{2\pi r}&=\frac{t}{2\pi}\;(dalam\;radian)\hspace{1.1cm}......\;(1\mathrm{a})\\\\ \frac{s}{2\pi r}&=\frac{\theta}{360^{\circ}}\;(dalam\;derajat\;^{\circ})\hspace{0.5cm}......\;(1\mathrm{b})\\\end{aligned}$

dari persamaan 1a) bisa kita dapatkan

$\begin{aligned}s&=tr \hspace{0.5cm} ...... \; (2a)\\\end{aligned}$

dengan :

s = panjang busur
t = besar sudut dalam radian
r = jari - jari lingkaran

Jika sudut berada pada satuan derajat ( ° ), untuk penggunaan persamaan 2a) sudut harus dikonversikan dulu ke satuan sudut radian.

Perhatikan bahwa untuk memulai perhitungan panjang busur lingkaran, nilai t harus dalam satuan radian.

Pada persamaan 2a), jika r = 1, maka s = t. Ini menjelaskan bahwa panjang busur lingkaran tersebut bernilai t radian. Jika t bernilai negatif, penafsirannya yaitu arah putaran panjang busurnya yang searah dengan arah putaran jarum jam.

Untuk persamaan 1b) dimana sudut θ dalam satuan derajat ( ° ) , kita bisa langsung mencari nilai panjang busur lingkaran melalui persamaan seperti berikut :

$\begin{aligned}\frac{s}{2\pi r}&=\frac{\theta}{360^{\circ}}\;\\\\s&=\frac{\theta}{360^{\circ}}\cdot 2\pi r\hspace{0.3cm}.........\;(2\mathrm{b})\end{aligned}$

dengan θ dalam satuan derajat ( ° ).

Hubungan Sudut Radian dengan Trigonometri Sudut

Perhatikan gambar berikut.

Jika

θ adalah sudut pusat lingkaran
AB = y, adalah sisi tegak segitiga / sisi yang berhadapan dari sudut segitiga θ
OB = x, adalah sisi datar / alas segitiga

Persamaan yang terdapat pada gambar di atas adalah sebagai berikut :

$\begin{aligned}\mathbf{\bar{OB}}&=x=r\cos\theta\\\mathbf{\bar{AB}}&=y=r\sin\theta\\\end{aligned}$

Nilai dalam fungsi trigonometri dengan penggunaan sudut dalam satuan radian dan tidak berbeda dengan penggunaan sudut dalam satuan derajat. Sebagai contoh :

$\begin{aligned}\sin 30^{\circ}&=\sin\left(30^{\circ}.\frac{\pi}{180^{\circ}}\;\mathrm{radian}\right)\\\\&\approx\sin(0.523)\\\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$

Keliling Juring Lingkaran

Perhatikan gambar berikut :

Besar keliling juring AOC di atas adalah:

$\begin{aligned}\textrm{Keliling Juring AOC}&=\textrm{Panjang OA}+\textrm{Panjang OC}+\textrm{Panjang Busur AC}\\\\&=\textrm{r}+\textrm{r}+\theta\textrm{r}\\\\\textrm{K}_{\textrm{AOC}}&=\textrm{r}(\textrm{2+}\theta)\hspace{0.3cm}..............\;(\textrm{3a})\\\\\end{aligned}$

dengan :

r = jari - jari lingkaran
θ adalah sudut pusat lingkaran ( radian )

Jika sudut dalam derajat °, maka nilai θ dirubah ke radian mengikuti perbandingan pada persamaan panjang busur 1b), yaitu :

$\begin{aligned}\textrm{K}_{\textrm{AOC}}&=\textrm{r}(\textrm{2+}\theta)\\\\&=\textrm{r}\left(\textrm{2+}\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi\right)\\\\&=\textrm{r}\left(\textrm{2+}\frac{\alpha}{180^\circ}\pi\right)\hspace{0.3cm}..............\;(\textrm{3b})\\\\\end{aligned}$

dengan :

ɑ adalah sudut pusat lingkaran ( derajat ° )

Soal Matematika Lingkaran