Matematika Lingkaran | Cara Menghitung Luas Juring (Sektor) yang Dibentuk oleh Busur Lingkaran

Tulisan Sebelumnya :

Pengenalan

Pada tulisan sebelumnya, kita telah mempelajari hubungan sudut derajat dan sudut radian, serta dasar matematika lingkaran yaitu definisi dan bagian dari lingkaran, serta busur lingkaran. Panjang sebuah busur lingkaran yang dilambangkan dengan s, dengan jari - jari r yang membentuk sudut theta θ, memberikan nilai panjang busurnya mengikuti persamaan :

$\begin{aligned}s(r)&=\theta r \; ... \; (1)\\\end{aligned}$

dengan :

s(r) = panjang busur sebagai fungsi dari jari - jari r.
θ = sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran ( radian )
r = jari - jari lingkaran

Dari persamaan 1) tersebut, dapat dikembangkan untuk mencari nilai dari luas sektor yang dibentuk oleh busur lingkaran.

Luas Juring atau Sektor Lingkaran

Juring atau Sektor Lingkaran adalah bagian dari lingkaran, yang dibatasi oleh 1 busur dan 2 jari - jari lingkaran.

AB dan AC = jari - jari lingkaran
garis BC = busur lingkaran

Selanjutnya, bahasan akan difokuskan pada luas juring atau sektor lingkaran minor.

Penurunan Rumus Luas Juring / Sektor Lingkaran

Dalam menurunkan perumusan luas suatu bangun datar, harus memenuhi persamaan integral untuk perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi dalam sumbu kartesian x dan y = f(x) sebagai berikut yaitu :

$\begin{aligned}dA&=f(x)dx\\\\A&=\int f(x)dx\hspace{0.3cm}.....................\;(2)\end{aligned}$

dengan f(x) adalah fungsi dari x.

Untuk mencari luas area yang dibentuk oleh busur lingkaran, kita bisa mengganti f(x) di sini sebagai s(r), sehingga persamaan 2) dapat ditulis :

$\begin{aligned}A&=\int s(r)dr\hspace{0.3cm}\\\end{aligned}$

Jika kita substitusikan persamaan 1) maka akan menjadi :

$\begin{aligned}A&=\int_{r_{1}}^{r_{2}}s(r)dr\hspace{0.3cm}\\\\&=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\;\theta\;r\;dr\\\\&=\theta\int_{r_{1}\;=\;0}^{r_{2}\;=\;r}\;r\;dr=\theta\left[\frac{1}{2}r^{2}\right]_{r_{1}\;=\;0}^{r_{2}\;=\;r}\\\\&=\frac{1}{2}\theta\left[r^{2}-0^{2}\right]\\\\A(r)&=\frac{1}{2}\;\theta\;r^{2}\hspace{0.5cm}.....................\;(3)\\\\\end{aligned}$

dengan :

A(r) = luas sektor yang dibentuk oleh busur lingkaran sebagai fungsi dari r
θ = sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran ( radian )
r = jari - jari lingkaran

*Catatan :

Dalam penurunan persamaan luas juring atau sektor lingkaran di atas, terdapat 1 variabel yang mengalami perubahan dan 1 konstanta / tetapan. Dalam hal ini konstantanya adalah θ dan variabel yang berubah adalah jari - jari r dari titik O kemudian arah gerak sapuan luasnya bergerak dari titik O menyebar ke busur AC.

Jika perspektifnya kita ubah, misalnya yang menjadi konstanta adalah jari - jari r dan variabel yang berubah adalah θ yaitu dari 0 menuju ke θ, maka arah gerakan luasnya menyapu dari OC ke OA dengan arah putaran sapuannya berlawanan arah dengan jarum jam.

Luas Juring atau Sektor Lingkaran Yang Dibatasi oleh 2 Jari - Jari Lingkaran

Perhatikan gambar berikut. Amatilah panjang busur lingkaran yang dibentuk oleh $\mathrm{s}(r_1)$ dan $\mathrm{s}(r_2)$ dengan $\mathrm{s}(r_2)>\mathrm{s}(r_1)$ pada rentang r1 dan r2 atau interval [r1, r2]. Kedua garis busur lingkaran ini saling membatasi daerah yang tergambar pada gambar juring lingkaran dibawah ini.

Metode Penyelesaian Mencari dan Menghitung Luas Juring atau Sektor Lingkaran yang Dibatasi oleh 2 Busur Lingkaran

Terdapat 2 metode dalam menghitung luas juring lingkaran yang dibatasi oleh 2 busur lingkaran, yaitu Metode Selisih Luas dan Metode Integral.

Metode 1 : Selisih Luas

Metode selisih luas juring lingkaran yaitu menghitung luas juring besar yang kemudian dikurangi luas juring kecil, sehingga menghasilkan nilai juring pada daerah yang diarsir.

Luas juring lingkaran besar adalah daerah pada busur lingkaran $\mathrm{s}(r_2)$ dengan jari - jari lingkaran r2, sedangkan luas juring lingkaran kecil ada pada daerah busur lingkaran $\mathrm{s}(r_1)$ dengan jari - jari lingkaran r1.

Dengan menggunakan persamaan 3) :

$\begin{aligned}\mathrm{A}(r)&=\frac{1}{2}\theta r^2\\\\\end{aligned}$

Besar luas juring lingkaran $\mathrm{s}(r_2)$ pada r2 :

$\begin{aligned}\mathrm{A}(r_2)&=\frac{1}{2}\theta (r_2)^2\\\\\end{aligned}$

Besar luas juring lingkaran $\mathrm{s}(r_1)$ pada r1 :

$\begin{aligned}\mathrm{A}(r_1)&=\frac{1}{2}\theta (r_1)^2\\\\\end{aligned}$

Rumus luas juring lingkaran pada rentang r1 dan r2 atau interval [r1, r2]:

$\begin{aligned}\mathrm{A}(r_{1-2})&=\mathrm{A}(r_{2})-\mathrm{A}(r_{1})\\\\&=\frac{1}{2}\theta(r_{2})^2-\frac{1}{2}\theta(r_{1})^2\\\\\mathrm{A}(r_{1-2})&=\frac{1}{2}\theta\left[(r_{2})^2-(r_{1})^2\right]\end{aligned}$

Metode 2 : Integral Tentu (Definite Integral)

Perlu diperhatikan bahwa $\mathrm{s}(r_2)-\mathrm{s}(r_1)$ adalah selisih panjang busur di antara kedua kurva busur lingkaran. Sehingga, persamaan luas pada gambar tersebut adalah sebagai berikut :

$\begin{aligned}A(r)&=\int_{r_{1}}^{r_{2}}s(r)dr\hspace{0.3cm}\\\\&=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\;r\;\theta\;dr\\\\&=\theta\int_{r_{1}}^{r_{2}}\;r\;dr=\theta\left[\frac{1}{2}r^{2}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}\\\\A(r_{1-2})&=\frac{1}{2}\theta\left[(r_{2})^{2}-(r_{1})^{2}\right]\\\\\end{aligned}$

Baik metode 1 ataupun 2 menghasilkan rumus luas juring lingkaran yang dibatasi oleh 2 busur lingkaran yang sama, yaitu

$\mathrm{A}(r_{1-2})=\frac{1}{2}\theta\left[(r_{2})^2-(r_{1})^2\right]\hspace{0.3cm}............\;(4)$

dengan

r2 = jari - jari lingkaran luar
r1 = jari - jari lingkaran dalam

Luas Cincin Lingkaran yang dibatasi oleh 2 Jari - Jari Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk mencari besar luas dari contoh kasus cincin lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari - jari lingkaran, yaitu jari - jari lingkaran dalam dan jari - jari lingkaran luar, kita bisa memulai penurunan rumusnya dari persamaan 4).

$\mathrm{A}(r_{1-2})=\frac{1}{2}\theta\left[(r_{2})^2-(r_{1})^2\right]\hspace{0.3cm}$

dengan

r2 = jari - jari lingkaran luar
r1 = jari - jari lingkaran dalam

Cincin lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari - jari lingkaran, memiliki sudut θ = 2π, sehingga persamaan 4) menjadi :

$\begin{aligned}\mathrm{A}(r_{1-2})&=\frac{1}{2}(2\pi)\left[(r_{2})^2-(r_{1})^2\right]\\\\&=\pi\left[(r_{2})^2-(r_{1})^2\right]\end{aligned}$

Luas Lingkaran

Setelah mengetahui rumusan luas juring lingkaran di atas, kita mencoba untuk mencari rumus luas dari sebuah lingkaran penuh.

Lingkaran yang utuh memiliki jari - jari r dan besar sudut 2π radian. Dengan menggunakan persamaan 3), kita akan mendapatkan rumus luas lingkaran sebagai berikut :

$\begin{aligned}A(r)&=\frac{1}{2}\;\theta\;r^{2}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot(2\pi)\cdot r^{2}\\\\A&=\pi r^{2}\end{aligned}$

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Soal 1 : Berapakah luas sektor lingkaran dengan jari - jari 5 cm dan sudut pusat 2 radian?

Penyelesaian Soal 1 :

⇒ r = 5 cm

⇒ θ = 2 radian

$\begin{aligned}A&=\frac{1}{2}\theta r^{2}\\\\&=\frac{1}{2}(2\;radian).(5\;cm)^2\\\\&=25\;cm^2\end{aligned}$

Soal 2 : Andaikan jeruji sebuah roda dengan jari - jari 60 cm berputar 10 kali dalam 1 detik. Berapakah luas yang diliputi oleh jeruji sepeda selama :

a. 1/40 detik

b. 3 detik

Penyelesaian Soal 2 :

⇒ r = 60 cm

⇒ θ = 10 putaran = (2π).(10) = 20π radian

⇒ Kecepatan Sudut (ω) = θ / t = 20π radian / detik
➤ Dalam t = 1 detik, sudut θ yang dibentuk sebesar 20π radian

➤ Dalam t = 1/40 detik, sudut θ yang dibentuk sebesar = 20π.(1/40 detik) = ½π radian

➤ Dalam t = 3 detik, sudut θ yang dibentuk sebesar = 20π.(3 detik) = 60π radian

a. Panjang Busur Lingkaran saat t = 1/40 detik

$\begin{aligned}\mathbf{s}_{(t=\frac{1}{40})}&=\theta_{(t=\frac{1}{40})}\;.\;r\\\\&=\frac{1}{2}\pi\;.\;60\;cm\\\\&=30\pi\;cm\approx 94,25\;cm\end{aligned}$

Luas Busur Lingkaran saat t = 1/40 detik

$\begin{aligned}\mathrm{A}_{(t=\frac{1}{40})}&=\frac{1}{2}\theta_{(t=\frac{1}{40})}\;.\;r^2\\\\&=\left(\frac{1}{2}\right).\left(\frac{1}{2}\pi\right).(60)^2\\\\&=900\pi\;cm^2\approx2827,43\;cm^2\end{aligned}$

b. Panjang Busur Lingkaran saat t = 3 detik

$\begin{aligned}\mathbf{s}_{(t=3)}&=\theta_{(t=3)}\;.\;r\\\\&=(60\pi).(60)\\\\&=3600\pi\;cm\approx 11309,73\;cm\end{aligned}$

Luas Busur Lingkaran saat t = 3 detik

$\begin{aligned}\mathrm{A}_{(t=3)}&=\frac{1}{2}\theta_{(t=3)}\;.\;r^2\\\\&=\left(\frac{1}{2}\right).\left(60\pi\right).(60)^2\\\\&=108000\pi\;cm^2\approx339292\;cm^2\end{aligned}$

Soal 3 : Perhatikan Gambar berikut

Dari gambar di atas. Jika diketahui panjang AO = 5cm dan sudut θ = 60°. Tentukanlah

a. Panjang busur s?

b. Keliling daerah ABC?

c. Luas segitiga △AOB?

d. Luas daerah ABC?

Penyelesaian Soal 3 :

⇒ AO = r = 5cm

⇒ θ = 60°

$\begin{aligned}\Rightarrow\textrm{Panjang AB}&=\textrm{AO}\cdot\sin\theta\\&=r\cdot\sin\theta\\&=5\cdot\sin 60^\circ\\&=\frac{5}{2}\sqrt{3}\;\textrm{cm}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\Rightarrow\textrm{Panjang BO}&=\textrm{AO}\cdot\cos\theta\\&=r\cdot\cos\theta\\&=5\cdot\cos 60^\circ\\&=\frac{5}{2}\;\textrm{cm}\end{aligned}$

a. Panjang Busur Lingkaran s adalah

$\begin{aligned}s&=\left(\frac{\theta^{\circ}}{360^\circ}\right)\cdot 2\pi r\\\\&=\left(\frac{60^\circ}{360^\circ}\right)\cdot 2\pi(5)\\\\&=\left(\frac{1}{6}\right)\cdot 10\pi\\\\&=\frac{5}{3}\pi\;\mathrm{cm}\approx 5,23\;\mathrm{cm}\end{aligned}$

b. Keliling ABC adalah

$\begin{aligned}\textrm{K}_{\textrm{ABC}}&=\textrm{Panjang AB}\;+\textrm{Panjang BC}\;+\textrm{Panjang Busur AC}\\\\&=\bar{AB}+(r-\bar{BO})+s\\\\&=\frac{5}{2}\sqrt{3}+\left(5-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{3}\pi\\\\&\approx12,07\;\textrm{cm}\end{aligned}$

c. Luas Segitiga △AOB adalah

$\begin{aligned}\textrm{L}\;\triangle{\textrm{AOB}}&=\frac{1}{2}\cdot\textrm{alas}\cdot\textrm{tinggi}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot(\bar{BO})\cdot(\bar{AB})\\\\&=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\left(\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)\\\\&=\frac{25}{8}\sqrt{3}\approx 5,41\textrm{cm}^2\end{aligned}$

d. Luas Daerah ABC adalah

$\begin{aligned}\textrm{L}_{\textrm{ABC}}&=\textrm{L}_{\textrm{AOC}}-\textrm{L}_{\triangle{\textrm{AOB}}}\\\\\end{aligned}$

Luas Juring Lingkaran AOC adalah

$\begin{aligned}\textrm{L}_{\textrm{AOC}}&=\frac{1}{2}\theta r^2\\\\&=\frac{1}{2}\cdot(\theta r)\cdot r\\\\&=\frac{1}{2}sr\\\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}\pi\right)(5)\\\\&=\frac{25}{6}\pi\;{\textrm{cm}^2}\approx 13,09\;{\textrm{cm}^2}\end{aligned}$

Maka Luas daerah ABC adalah

$\begin{aligned}\textrm{L}_{\textrm{ABC}}&=\textrm{L}_{\textrm{AOC}}-\textrm{L}_{\triangle{\textrm{AOB}}}\\\\&=\frac{25}{6}\pi-\frac{25}{8}\sqrt{3}\\\\&\approx 7,68\;{\textrm{cm}^2}\end{aligned}$

Soal 4 : Perhatikan Gambar berikut

Jika panjang OA = r, dan sudut puncak θ membentuk segi tiga sama kaki kemudian ditutup oleh setengah lingkaran seperti yang tampak pada gambar di atas, maka tentukanlah :

a. Persamaan panjang busur AB ?

b. Persamaan luas segitiga △AOB ?

c. Persamaan luas total daerah tersebut ?

Penyelesaian Soal 4 :

Untuk memahami persoalan ini, mari kita tambahkan garis bantu pada gambar soal no 4 ini menjadi seperti berikut :

Segitiga samakaki pada gambar tersebut dibagi 2 sama rata, sehingga sudut θ yang terbentuk pada puncak segitiga samakaki terbagi menjadi 2 atau ½θ.

Panjang x dan y adalah

$\begin{aligned}\textrm{x}&=\textrm{r}.\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\\\\textrm{y}&=\textrm{r}.\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}$

a. Panjang Busur AB adalah

⇒ r' = y
⇒ θ' = π ( Setengah Lingkaran )
⇒ s = θ'.r'

$\begin{aligned}\textrm{s}&=\theta'.r'\\\\\textrm{s}_{AB}&=\pi r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}$

Perlu diperhatikan :

Sudut θ' pada busur lingkaran AB tidak sama dengan sudut θ pada puncak segitiga samakaki yang dibagi 2 tadi.
Sudut θ' pada busur lingkaran AB adalah setengah lingkaran dengan titik pusat berada di titik P.
Busur AB memiliki jari - jari r' yang nilainya sama dengan panjang y.

b. Luas Segitiga △AOB adalah

$\begin{aligned}\textrm{L}_{\triangle\textrm{AOP}}&=\frac{1}{2}.\textrm{alas}.\textrm{tinggi}\\\\&=\frac{1}{2}.\bar{AP}.\bar{OP}\\\\&=\frac{1}{2}\textrm{y}\textrm{x}\\\\&=\frac{1}{2}\left[r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\left[r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\\\\&=\frac{1}{2}r^2\left[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\\\\\textrm{L}_{\triangle\textrm{AOB}}&=2.\textrm{L}_{\triangle\textrm{AOP}}\\\\&=2.\frac{1}{2}r^2\left[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\\\\&=r^2\left[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\left[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]\\\\&=\frac{1}{2}r^2\left(\sin\theta\right)\\\\\end{aligned}$

Catatan :

$\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x\\\\\frac{1}{2}\sin 2x&=\sin x\cos x\\\\\Rightarrow\mathrm{jika}\;&x=\frac{\theta}{2}\;\mathrm{,maka:}\\\\\frac{1}{2}\sin\theta&=\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\\\end{aligned}$

c. Luas Total Daerah yang diarsir adalah

$\begin{aligned}\textrm{Luas}_\textrm{Total}&=\textrm{Luas}_\textrm{Juring APB}\;+\textrm{Luas}_{\triangle\textrm{AOB}}\\\\\end{aligned}$

Luas Juring APB adalah

$\begin{aligned}\textrm{Luas}_{\textrm{Juring APB}}&=\frac{1}{2}\theta'\textrm{(r')}^2\\\\&=\frac{1}{2}\pi\left[\textrm{r}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]^2\\\\&=\frac{1}{2}\pi\textrm{r}^2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}$

Dengan demikian, luas total daerah tersebut adalah

$\begin{aligned}\textrm{Luas}_\textrm{Total}&=\textrm{Luas}_\textrm{Juring APB}\;+\textrm{Luas}_{\triangle\textrm{AOB}}\\\\&=\frac{1}{2}\pi\textrm{r}^2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{1}{2}\textrm{r}^2\sin\theta\\\\&=\frac{1}{2}\textrm{r}^2\left[\pi\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+\sin\theta\right]\\\\\end{aligned}$

Soal 5 : Perhatikan gambar sebuah piringan hitam berikut.

Suatu piringan hitam berputar dengan kecepatan 33⅓ rpm, memiliki galur berbentuk spiral yang dimulai 6 inch dari pusatnya dan berakhir 3 inch dari pusat lingkaran. Apabila piringan hitam itu dapat memainkan sebuah musik dalam waktu 18 menit, berapakah kira - kira panjang galur tersebut?

Penyelesaian Soal 5 :

⇒ r1 = 3 inch

⇒ r2 = 6 inch

⇒ t = 18 menit

⇒ Kecepatan Sudut (ω) = θ / t = 33⅓ rpm (rotasi per menit)

$\begin{aligned}\omega&=33\frac{1}{3}\;\textrm{rpm}=\frac{100}{3}2\pi\\\\&=\frac{200\pi}{3}\end{aligned}$

➤ Laju perubahan jari - jari piringan hitam dengan rentang r1 = 3 inch dan r2 = 6 inch atau interval [3in, 6in] terhadap waktu ∆t = 18 menit adalah

$\begin{aligned}v_{r}=\frac{dr}{dt}&=\frac{\Delta r}{\Delta t}\\\\&=\frac{r_2-r_1}{t_2-t_1}\\\\&=\frac{(6-3)\;\textrm{inch}}{18\;\textrm{menit}}\\\\&=\frac{1}{6}\;\textrm{inch/menit}\end{aligned}$

➤Luas bidang piringan hitam tersebut adalah

$\begin{aligned}A&=\frac{1}{2}\theta[r_2^2-r_1^2]\\\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{200\pi}{3}\right)\left(6^2-3^2\right)\\\\&=900\pi\;\textrm{inch}^2\end{aligned}$

➤ Asumsi tidak ada percepatan pada laju perubahan luas piringan hitam tersebut, sehingga nilai laju perubahan luas adalah

$\frac{dA}{dt}=900\pi\;\textrm{inch}^2/\textrm{menit}$

➤ Dengan memperhitungkan laju perubahan galur dan laju perubahan luas piring hitamnya, akan didapatkan panjang galur dari piringan hitam tersebut, sebagai berikut :

$\begin{aligned}A&=\frac{1}{2}\theta r^2\\\\\frac{dA}{dt}&=\frac{1}{2}\theta.\frac{d}{dt}(r^2)\\\\&=\frac{1}{2}\theta(2r)\frac{dr}{dt}\\\\\frac{dA}{dt}&=\theta r\frac{dr}{dt}\\\\900\pi&=\theta r\frac{1}{6}\\\\\theta r&=900\pi.6\\\\s&=5400\pi\;\textrm{inch}\approx 16964,60\;\textrm{inch}\end{aligned}$

Dengan demikian, panjang galur dari piringan hitam tersebut adalah 16964,6 inch.

Untuk sementara, sampai di sini dulu. Jika ada yang belum bisa dimengerti atau ada kekeliruan pada tulisan di atas, jangan ragu untuk disampaikan melalui kolom komentar. Semoga bisa dipahami.

Salam 😊

Credits :

Sumber gambar piringan hitam : Vinyl Record Vectors by Vecteezy

Incoming Search Terms

luas juring
juring lingkaran
luas juring lingkaran
busur lingkaran

Matematika Lingkaran | Cara Menghitung Luas Juring (Sektor) yang Dibentuk oleh Busur Lingkaran

Tulisan Sebelumnya :

Pengenalan

Luas Juring atau Sektor Lingkaran

Penurunan Rumus Luas Juring / Sektor Lingkaran

Luas Juring atau Sektor Lingkaran Yang Dibatasi oleh 2 Jari - Jari Lingkaran

Metode Penyelesaian Mencari dan Menghitung Luas Juring atau Sektor Lingkaran yang Dibatasi oleh 2 Busur Lingkaran

Luas Cincin Lingkaran yang dibatasi oleh 2 Jari - Jari Lingkaran

Luas Lingkaran

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Catatan :

Posting Komentar

Facebook Page

Popular Posts

Matematika Lingkaran : Bagian Lingkaran | Panjang Busur Lingkaran | Contoh Soal

Matematika Lingkaran | Cara Menghitung Luas Juring Lingkaran | Busur Lingkaran

Vektor Matematika | Notasi Vektor | Komponen Vektor

Sudut Derajat ke Sudut Radian | Sudut Radian ke Sudut Derajat

Kinematika Gerak | Gerak Lurus Beraturan (GLB) | Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

Social Plugin

Labels

Made with Love by

Contact form